PENERAPAN TURUNAN FUNGSI

PENERAPAN TURUNAN FUNGSI

A. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM

Nilai maksimum dari suatu fungsi adalah nilai paling besar dari fungsi untuk semua daerah asal. Sementara nilai minimum adalah nilai terkecil dari sebuah fungsi pada daerah domain fungsi tersebut. Langkah untuk menentukan nilai maksimun dan nilai minimum fungsi adalah,

Misalkan kita memiliki fungsi y=f(x) pada interval [a,b] , maka nilai maksimum/nilai minimum bisa ditentukan dengan cara,

1) f’(x)=0 , akan didapat x1,x2,x3…xnx1,x2,x3…xn
2) Carilah f(x1),f(x2),f(x3),f(xn),f(a),f(b)f(x1),f(x2),f(x3),f(xn),f(a),f(b).
3) Nilai yang paling besar pada langkah ke dua adalah nilai maksimum dan nilai terkecil adalah nilai minimum.

Note: Jika tidak diberikan interval, maka kita cukup menggunakan f(x1),f(x2),f(x3),f(xn)f(x1),f(x2),f(x3),f(xn)saja.

Agar mempermudah pemahaman tentang bagaimana cara mencari nilai maksimum dan minimum fungsi ini, bisa dilihat contoh soal dan pembahasan tentang nilai maksimum dan nilai minimum ini.

#1. Diketahui fungsi f(x)=−x2+4x+3f(x)=−x2+4x+3 pada interval −1≤x≤5−1≤x≤5. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimumnya

Pembahasan:
Langkah (1) :
f(x)=−x2+4x+3f′(x)=−2x+40=−2x+42x=4x1=2f(x)=−x2+4x+3f′(x)=−2x+40=−2x+42x=4x1=2
disini kita hanya memiliki x1=2x1=2

Langkah (2):
f(x)=−x2+4x+3f(x1)=f(2)=−(2)2+4(2)+3=7f(a)=f(−1)=−(−1)2+4(−1)+3=−2f(b)=f(5)=−(5)2+4(5)+3=−2f(x)=−x2+4x+3f(x1)=f(2)=−(2)2+4(2)+3=7f(a)=f(−1)=−(−1)2+4(−1)+3=−2f(b)=f(5)=−(5)2+4(5)+3=−2

Langkah (3):
Nilai terbesar dari ada pada f(2)=7. Artinya nilai maksimum fungsi adalah 7.
Sementara nilai terkecil f(-1) = -2 dan f(5) =-2. Artinya nilai minimum fungsi adalah -2


#2. Diketahui f(x)=13x3+12x2–2x+3f(x)=13x3+12x2–2x+3. Tentukan nilai minimum dari f(x).

Pembahasan:
Langkah (1)
f(x)=13x3+12x2−2x+3f′(x)=x2+x−2=0(x+2)(x−1)=0x1=−2,x2=1f(x)=13x3+12x2−2x+3f′(x)=x2+x−2=0(x+2)(x−1)=0x1=−2,x2=1

Langkah (2) Karena tak ada interval kita tinggal memasukkan f(x1),f(x2)f(x1),f(x2)
f(x1)=f(−2)=13(−2)3+12(−2)2−2(−2)+3=193f(x1)=f(−2)=13(−2)3+12(−2)2−2(−2)+3=193
fx2=f(1)=13.13+12.12–2.1+3=116fx2=f(1)=13.13+12.12–2.1+3=116

Langkah (3): Yang ditanyakan nilai minimum, jadi kita akan ambil nilai terkecil dari langkah ke-dua. Nilai terkecil adalah f(x2)=f(1)=116f(x2)=f(1)=116. Artinya nilai minimum fungsi tersebut adalah 11/6. 

B.Titik Kritis

Di Mana Terjadinya Nilai Ekstrim?

Ada tiga jenis titik yang bisa jadi merupakan tempat terjadinya nilai ekstrim. Sebarang titik dalam daerah asal fungsi yang termasuk ke dalam salah satu dari tiga tipe ini disebut titik kritis.

Berikut adalah ketiga tipe titik kritis yang di maksud.

1.Titik-titik ujung

Biasanya fungsi yang akan kita cari nilai maksimum dan minimumnya dibatasi oleh suatu selang (interval) sebagai daerah asalnya. Beberapa selang memiliki titik ujung, sebagian lagi tidak. Misal Interval

memuat titik ujung kanan dan kiri

hanya memuat titik ujung kiri

hanya memuat titik ujung kanan

tidak memuat titik ujung satupun.

Nilai-nilai ekstrim yang terdefinisi pada selang tertutup dapat terjadi pada titik-titik ujung intervalnya.

2. Titik Stasioner

Jika c sebuah titik dengan , maka c adalah titik stasioner. Faktanya garis singgung pada titik stasioner sejajar sumbu x. Nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik stasioner.

3. Titik Singular

Titik singular merupakan titik pada grafik dalam keadaan sudut tajam, garis singgung vertical, atau berupa lompatan. Walaupun dalam masalah praktis hal ini sangat langka, nilai ekstrim dapat terjadi pada titik singular.

Contoh 1 Cari titik-titik kritis dari

Penyelesaian:

(i) Titik-titik ujung adalahdan 10.

(ii) Untuk mencari titik-titik stasioner kita selesaikan

 

Kedua titik stasioner jatuh di dalam selang yang ditentukan.

(iii) Tidak terdapat titik-titik singular.

Jadi titik-titik kritis adalah titik-titik dengan absis

Lalu koordinat titik kritis, dapat kita lengkapi dengan mensubstitusi absis-absis tersebut ke dalam fungsi 

Sehingga kita peroleh koordinat titik kritisnya 

SEKIAN… TERIMAKASIH…

BENTUK TAK TENTU

TAHAP MENYELESAIKAN LIMIT DAN BENTUK TAK TENTU

1. Strategi Substitusi

Tahapan pertama untuk menyelesaikan suatu limit di satu titik (nilai berhingga) adalah substitusi langsung. Jika dari hasil substitusi langsung tidak diperoleh nilai dengan bentuk tak tentu seperti di bawah ini, maka nilai tersebut adalah menunjukan nilai dari limit yang bersangkutan.  

Contoh soal:

2. Strategi Faktorisasi

Apabila hasil substitusi langsung diperoleh nilai bentuk tak tentu, maka kita harus memfaktorkannya sehingga bentuknya menjadi bukan bentuk tak tentu, kemudian kita lanjutkan menggunakan strategi substitusi langsung sehingga diperoleh hasilnya.

Contoh soal: 

3. Strategi Mengalikan dengan Bentuk Sekawan

Strategi mengalikan dengan bentuk sekawan dilakukan pada limit berbentuk irasional. Hal ini dilakukan jika sebelumnya kita menggunakan strategi substitusi langsung dan strategi faktorisasi, hasil keduanya adalah bentuk tak tentu. Setelah perkalian itu disederhanakan, maka kita menggunakan strategi substitusi langsung lagi, sehingga diperoleh hasilnya. 

Contoh soal:

1.Bentuk tak tentu 0/0 :

Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.

Contoh Bentuk 0/0 :

2. Bentuk tak tentu  ∞/∞ :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk ∞/∞ :

3. Bentuk tak tentu 0.∞ :

Contoh Bentuk tak tentu 0.∞ :

4. Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ :

Contoh Bentuk   ∞ – ∞ :

SEKIAN... TERIMAKASIH...

TURUNAN IMPLISIT

TURUNAN IMPLISIT

Dalam kalkulus, saat Anda memiliki persamaan untuk y yang dituliskan dalam bentuk x (misalnya y = x² -3x), mudah untuk menggunakan teknik-teknik penurunan dasar (disebut oleh para ahli matematika sebagai teknik-teknik turunan fungsi implisit) untuk mencari turunannya. Akan tetapi, untuk persamaan-persaman yang sulit untuk disusun dengan suku y saja pada salah satu sisi tanda sama dengan (misalnya x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), diperlukan pendekatan yang berbeda. Dengan sebuah teknik yang disebut turunan fungsi implisit, mudah untuk mencari turunan persamaan-persamaan multi variabel selama Anda sudah mengetahui dasar-dasar turunan fungsi eksplisit!

Metode1

Menurunkan Persamaan-Persamaan Sederhana dengan Cepat

1

Turunkan suku-suku x seperti biasa. Saat mencoba menurunkan persamaan multi variabel seperti x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, mungkin sulit untuk mengetahui dari mana harus memulai. Untungnya, langkah pertama dari turunan fungsi implisit adalah langkah termudahnya. Turunkan saja suku-suku x dan konstanta pada kedua sisi persamaan sesuai aturan turunan biasa (eksplisit) untuk memulainya. Abaikan suku-suku y untuk sementara.

·         Ayo coba kita turunkan contoh persamaan sederhana di atas. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 memiliki dua suku x: x² dan -5x. Jika kita ingin menurunkan persamaan, kita harus mengerjakan ini terlebih dahulu, seperti ini:

x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

(Bawalah turun pangkat 2 dalam x² sebagai koefisien, hapus x dalam -5x, dan ubah 19 menjadi 0)

2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

2

Turunkan suku-suku y dan tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing sukunya. Untuk langkah Anda selanjutnya, turunkan saja suku-suku y dengan cara yang sama seperti Anda menurunkan suku-suku x. Akan tetapi, kali ini, tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing suku seperti Anda menambahkan koefisien. Misalnya, jika Anda menurunkan y², maka turunannya menjadi 2y(dy/dx). Abaikan suku-suku yang memiliki x dan y untuk sementara.

·         Dalam contoh kita, persamaan kita sekarang menjadi seperti ini: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Kita akan melakukan langkah penurunan y selanjutnya seperti berikut:

2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

(Bawalah turun pangkat 2 dalam y² sebagai koefisien, hapus y dalam 8y, dan letakkan dy/dx di sebelah masing-masing suku).

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy²= 0

3

Gunakan aturan hasil kali atau aturan hasil bagi untuk suku-suku yang memiliki x dan y. Mengerjakan suku-suku yang memiliki x dan y agak sedikit rumit, tetapi jika Anda mengetahui aturan hasil kali dan hasil bagi untuk turunan, Anda akan mudah mengerjakannya. Jika suku-suku x dan y dikalikan, gunakan aturan hasil kali ((f × g)' = f' × g + g × f'), mensubtitusikan suku x untuk f dan suku y untuk g.^[1] Sebaliknya, jika suku-suku x dan y saling membagi satu sama lain, gunakan aturan hasil bagi ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g²), mensubstitusikan suku pembilang untuk f dan suku penyebut untuk g

·         Dalam contoh kita, 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy² = 0, kita hanya memiliki satu suku yang memiliki x dan y — 2xy². Karena x dan y dikalikan satu sama lain, kita akan menggunakan aturan hasil kali untuk menurunkan seperti berikut:

2xy² = (2x)(y²)— set 2x = f and y² = g in (f × g)' = f' × g + g × f'

(f × g)' = (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

(f × g)' = (2) × (y²) + (2x) × (2y(dy/dx))

(f × g)' = 2y² + 4xy(dy/dx)

·         Menambahkan ini ke persamaan utama kita, kita mendapatkan 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

4

Sendirikan (dy/dx). Anda hampir selesai! Sekarang, yang harus Anda lakukan adalah menyelesaikan persamaan (dy/dx). Hal ini tampaknya sulit, tetapi biasanya tidak — ingatlah bahwa dua suku a dan b apa pun yang dikalikan oleh (dy/dx) dapat ditulis sebagai (a + b)(dy/dx) karena sifat distributif perkalian.^[3] Taktik ini dapat memudahkan proses menyendirikan (dy/dx) — pindahkan saja semua suku lainnya di sisi lain dari tanda kurung, kemudian bagilah dengan suku-suku dalam tanda kurung di sebelah (dy/dx).

·         Dalam contoh kita, kita menyederhanakan 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0 seperti berikut:

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

(2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

(2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y² - 2x + 5

(dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

(dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

Metode2

Menggunakan Teknik-Teknik Lanjut 

1

Masukkan nilai (x, y) untuk mencari (dy/dx) untuk titik apa pun. Selamat! Anda sudah menurunkan persamaan Anda secara implisit — bukanlah pekerjaan yang mudah untuk percobaan pertama! Menggunakan persamaan ini untuk mencari gradien (dy/dx) untuk titik (x, y) apa pun semudah memasukkan nilai-nilai x dan y untuk titik Anda ke sisi kanan persamaan, kemudian mencari (dy/dx).

·         Sebagai contoh, misalkan kita ingin mencari gradien pada titik (3, -4) untuk contoh persamaan kita di atas. Untuk melakukannya, kita akan mensubstitusikan 3 untuk x dan -4 untuk y, diselesaikan seperti berikut:

(dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

(dy/dx) = (-2(-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

(dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))

(dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12))

(dy/dx) = (-33)/(2(2(-12))

(dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, atau 0,6875.

2

Gunakan aturan rantai untuk fungsi-dalam-fungsi. Aturan rantai adalah bagian pengetahuan yang penting untuk dimiliki saat mengerjakan soal-soal kalkulus (termasuk soal-soal turunan fungsi implisit). Aturan rantai menyatakan bahwa untuk fungsi F(x) yang dapat ditulis sebagai (f o g)(x), turunan F(x) sama dengan f'(g(x))g'(x). Untuk soal-soal turunan fungsi implisit yang sulit, hal ini berarti bahwa mungkin untuk menurunkan bagian persamaan individu yang berbeda, kemudian menggabungkan hasilnya.

·         Sebagai contoh sederhana, misalkan kita harus mencari turunan sin(3x² + x) sebagai bagian dari soal turunan fungsi implisit yang lebih besar untuk persamaan sin(3x² + x) + y³ = 0. Jika kita membayangkan sin(3x² + x) sebagai f(x) dan 3x² + x sebagai g(x) , kita dapat mencari turunannya seperti berikut:

f'(g(x))g'(x)

(sin(3x² + x))' × (3x² + x)'

cos(3x² + x) × (6x + 1)

(6x + 1)cos(3x² + x)

3

Untuk persamaan dengan variabel-variabel x, y, dan z, carilah (dz/dx) dan (dz/dy). Meskipun tidak biasa dalam kalkulus dasar, beberapa penerapan lanjut mungkin membutuhkan turunan fungsi implisit dari lebih dari dua variabel. Untuk masing-masing variabel tambahan, Anda harus mencari turunan tambahannya terhadap x. Misalnya, jika Anda memiliki x, y, dan z, Anda harus mencari baik (dz/dy) dan (dz/dx). Kita bisa melakukan hal ini dengan menurunkan persamaan terhadap x sebanyak dua kali — pertama, kita akan memasukkan (dz/dx) setiap kali kita menurunkan suku yang mengandung z, dan kedua, kita akan memasukkan (dz/dy) setiap kali kita menurunkan z. Setelah ini, hanya masalah menyelesaikan (dz/dx) dan (dz/dy).

·         Misalnya, katakan kita mencoba menurunkan x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

·         Pertama, ayo turunkan terhadap x dan masukkan (dz/dx). Jangan lupa untuk menerapkan aturan hasil kali jika diperlukan!

x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

3x²z² + 2x³z(dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

3x²z² + (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) - 5y⁵z = 2x

(2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5y⁵z

(dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5y⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

·         Sekarang, lakukan hal yang sama untuk (dz/dy)

x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

2x³z(dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

(2x³z - 5xy⁵)(dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z

(dz/dy) = (3y² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)

Peringatan

·         Selalu cari bagian mana pun yang membutuhkan aturan Hasil Bagi atau Hasil Kali; bagian ini sangat mudah terlupakan.

SEKIAN… TERIMAKASIH