KALKULUS-Sistem Bilangan: PENERAPAN TURUNAN FUNGSI

PENERAPAN TURUNAN FUNGSI

A. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM

Nilai maksimum dari suatu fungsi adalah nilai paling besar dari fungsi untuk semua daerah asal. Sementara nilai minimum adalah nilai terkecil dari sebuah fungsi pada daerah domain fungsi tersebut. Langkah untuk menentukan nilai maksimun dan nilai minimum fungsi adalah,

Misalkan kita memiliki fungsi y=f(x) pada interval [a,b] , maka nilai maksimum/nilai minimum bisa ditentukan dengan cara,

1) f’(x)=0 , akan didapat x1,x2,x3…xnx1,x2,x3…xn
2) Carilah f(x1),f(x2),f(x3),f(xn),f(a),f(b)f(x1),f(x2),f(x3),f(xn),f(a),f(b).
3) Nilai yang paling besar pada langkah ke dua adalah nilai maksimum dan nilai terkecil adalah nilai minimum.

Note: Jika tidak diberikan interval, maka kita cukup menggunakan f(x1),f(x2),f(x3),f(xn)f(x1),f(x2),f(x3),f(xn)saja.

Agar mempermudah pemahaman tentang bagaimana cara mencari nilai maksimum dan minimum fungsi ini, bisa dilihat contoh soal dan pembahasan tentang nilai maksimum dan nilai minimum ini.

#1. Diketahui fungsi f(x)=−x2+4x+3f(x)=−x2+4x+3 pada interval −1≤x≤5−1≤x≤5. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimumnya

Pembahasan:
Langkah (1) :
f(x)=−x2+4x+3f′(x)=−2x+40=−2x+42x=4x1=2f(x)=−x2+4x+3f′(x)=−2x+40=−2x+42x=4x1=2
disini kita hanya memiliki x1=2x1=2

Langkah (2):
f(x)=−x2+4x+3f(x1)=f(2)=−(2)2+4(2)+3=7f(a)=f(−1)=−(−1)2+4(−1)+3=−2f(b)=f(5)=−(5)2+4(5)+3=−2f(x)=−x2+4x+3f(x1)=f(2)=−(2)2+4(2)+3=7f(a)=f(−1)=−(−1)2+4(−1)+3=−2f(b)=f(5)=−(5)2+4(5)+3=−2

Langkah (3):
Nilai terbesar dari ada pada f(2)=7. Artinya nilai maksimum fungsi adalah 7.
Sementara nilai terkecil f(-1) = -2 dan f(5) =-2. Artinya nilai minimum fungsi adalah -2

#2. Diketahui f(x)=13x3+12x2–2x+3f(x)=13x3+12x2–2x+3. Tentukan nilai minimum dari f(x).

Pembahasan:
Langkah (1)
f(x)=13x3+12x2−2x+3f′(x)=x2+x−2=0(x+2)(x−1)=0x1=−2,x2=1f(x)=13x3+12x2−2x+3f′(x)=x2+x−2=0(x+2)(x−1)=0x1=−2,x2=1

Langkah (2) Karena tak ada interval kita tinggal memasukkan f(x1),f(x2)f(x1),f(x2)
f(x1)=f(−2)=13(−2)3+12(−2)2−2(−2)+3=193f(x1)=f(−2)=13(−2)3+12(−2)2−2(−2)+3=193
fx2=f(1)=13.13+12.12–2.1+3=116fx2=f(1)=13.13+12.12–2.1+3=116

Langkah (3): Yang ditanyakan nilai minimum, jadi kita akan ambil nilai terkecil dari langkah ke-dua. Nilai terkecil adalah f(x2)=f(1)=116f(x2)=f(1)=116. Artinya nilai minimum fungsi tersebut adalah 11/6.

B.Titik Kritis

Di Mana Terjadinya Nilai Ekstrim?

Ada tiga jenis titik yang bisa jadi merupakan tempat terjadinya nilai ekstrim. Sebarang titik dalam daerah asal fungsi yang termasuk ke dalam salah satu dari tiga tipe ini disebut titik kritis.

Berikut adalah ketiga tipe titik kritis yang di maksud.

1.Titik-titik ujung

Biasanya fungsi yang akan kita cari nilai maksimum dan minimumnya dibatasi oleh suatu selang (interval) sebagai daerah asalnya. Beberapa selang memiliki titik ujung, sebagian lagi tidak. Misal Interval

memuat titik ujung kanan dan kiri

hanya memuat titik ujung kiri

hanya memuat titik ujung kanan

tidak memuat titik ujung satupun.

Nilai-nilai ekstrim yang terdefinisi pada selang tertutup dapat terjadi pada titik-titik ujung intervalnya.

2. Titik Stasioner

Jika c sebuah titik dengan

, maka c adalah titik stasioner. Faktanya garis singgung pada titik stasioner sejajar sumbu x. Nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik stasioner.

3. Titik Singular

Titik singular merupakan titik pada grafik dalam keadaan sudut tajam, garis singgung vertical, atau berupa lompatan. Walaupun dalam masalah praktis hal ini sangat langka, nilai ekstrim dapat terjadi pada titik singular.